tuturwidodo..com

tuturwidodo..com

01 April 2012

Pertidaksamaan Pangkat Tiga ( Cubic )

Ditulis Oleh pada 01 April 2012


Berikut ini adalah soal pertidaksamaan sederhana yang saya dapat dari Mas Sudirman Arbi di Group Soul-Mate-Matika. Soalnya sebagai berikut :

Untuk sebarang bilangan riil positif $a,b$ dan $c$ buktikan bahwa

A. $4(a^3+b^3)\geq (a+b)^3$

B. $9(a^3+b^3+c^3)\geq (a+b+c)^3$

Sebelum menjawab pertanyaan di atas terlebih dahulu kita buktikan,
Untuk sebarang bilangan riil positif $a,b$ berlaku $a^3+b^3\geq a^2b+ab^2$






Dengan pertidaksamaan CS Engel (untuk lebih jelasnya klik disini) diperoleh :
$$\begin{align*}
a^3+b^3=\frac{a^2}{\frac{1}{a}}+\frac{b^2}{\frac{1}{b}}&\geq \frac{(a+b)^2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\\
&=\frac{(a+b)^2}{\frac{a+b}{ab}}\\
&=ab(a+b)=a^2b+ab^2
\end{align*}$$

Berdasarkan hasil di atas, kedua soal dapat dengan mudah dibuktikan. Tinggal dibongkar saja.






Karena $(a+b)^3=a^3+b^3+3a^2b+3ab^2$ maka tinggal dibuktikan $3(a^3+b^3)\geq 3a^2b+3ab^2$ yang jelas benar berdasarkan pertidaksaaman yang telah kita buktikan di atas.






Bila $(a+b+c)^3$ dijabarkan diperoleh
$$\begin{align*}
(a+b+c)^3=&a^3+b^3+c^3+3a^2b+3b^2a+3b^2c+3c^2b+3a^2c+3c^2a\\
&+6abc
\end{align*}$$
Jadi tinggal dibuktikan,
$$\begin{align*}
8(a^3+b^3+c^3)\geq &3a^2b+3b^2a+3b^2c+3c^2b+3a^2c+3c^2a\\
&+6abc
\end{align*}$$
tetapi berdasarkan pertidaksamaan awal kita dapat,
$$\begin{align*}
6(a^3+b^3+c^3)&=3(a^3+b^3+b^3+c^3+c^3+a^3)\\
&\geq 3(a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+a^2c+ac^2)
\end{align*}$$
Oleh karena itu, tinggal dibuktikan $2(a^3+b^3+c^3)\geq 6abc$, yang jelas benar berdasarkan Pertidaksamaan AM-GM.





0 comments :

Post a Comment