Soal dan Pembahasan OSK Matematika SMA tahun 2012 Bagian Kedua

Melanjutkan kembali postinganku tentang Soal dan Pembahasan OSK Matematika SMA tahun 2012 yang pada bagian pertama sudah saya berikan pembahasan untuk nomor 1 sampai nomor 10. Bagi yang ingin melihat kembali Soal dan Pembahasan OSK Matematika SMA tahun 2012 Bagian Pertama silakan klik di sini. Untuk kali ini, saya berikan pembahasan nomor 11 sampai nomor 20, tentunya sesuai dengan pemahamanku. Oleh karena itu, segala saran dan masukan serta koreksi sangat saya harapkan agar pembahasan soal OSK Matematika yang saya buat ini semakin berkualitas.

Berikut soal nomor 11 sampai nomor 20 tersebut :

11. Jumlah semua bilangan bulat $x$ sehingga $^2 \log (x^2-4x-1)$ merupakan bilangan bulat adalah ...

Jawaban : 4
Agar $^2 \log (x^2-4x-1)$ bernilai bulat maka $x^2-4x-1=2^n$ untuk suatu bilangan bulat $n$. Karena $x^2-4x-1$ bernilai bulat maka $n\geq 0$. Perhatikan juga,
$$\begin{align*}
x^2-4x-1=2^n&\Leftrightarrow x^2-4x+4-1=2^n+4\\
&\Leftrightarrow (x-2)^2=2^n+5
\end{align*}$$
tetapi karena $(x-2)^2\equiv 0,1,\text{ atau }4 \text{ mod }8$ dan untuk $n\geq 3, 2^n+5\equiv5\text{ mod }8$ maka $n\leq 2$. Jadi, nilai yang memenuhi $n=0,1,2$. Mudah dicek hanya nilai $n=2$ yang memenuhi dengan memperoleh persamaan kuadrat $x^2-4x-5=0$. Jadi, $x_1+x_2=4$.

12. Ada berapa faktor positif dari $2^7 3^5 5^3 7^2$ yang merupakan kelipatan 6?

Jawaban : 420
Karena $2^73^55^37^2=2^63^45^37^2\cdot 6$, maka banyaknya faktor positif $2^73^55^37^2$ yang merupakan kelipatan 6 sama dengan banyaknya faktor positif dari $2^63^45^37^2$ yaitu
(6 + 1) x (4 + 1) x (3 + 1) x (2 + 1) = 420.

13. Suatu set soal terdiri dari 10 soal pilihan B atau S dan 15 soal pilihan ganda dengan 4 pilihan. Seorang siswa menjawab semua soal dengan menebak jawaban secara acak. Tentukan Probabilitas ia menjawab dengan benar hanya 2 soal?

Jawaban :
Jika 2 soal benar tersebut berasal dari soal tipe B atau S maka peluangnya adalah
$$\begin{equation*}
\left(\frac{1}{2}\right)^{10}\cdot \begin{pmatrix}
10 \\
2
\end{pmatrix}\cdot \left(\frac{3}{4}\right)^{15}
\end{equation*}$$
Jika 2 soal benar tersebut berasal dari soal tipe pilihan ganda maka peluangnya adalah
$$\begin{equation*}
\left(\frac{1}{2}\right)^{10}\cdot \left(\frac{1}{4}\right)^{2}\cdot \left(\frac{3}{4}\right)^{13}\begin{pmatrix}
15 \\
2
\end{pmatrix}
\end{equation*}$$
Jika 1 soal benar tersebut berasal dari soal tipe B atau S dan 1 soal benar berasal dari pilihan ganda maka peluangnya adalah
$$\begin{equation*}
\left(\frac{1}{2}\right)^{10}\cdot \begin{pmatrix}
10 \\
1
\end{pmatrix}\cdot \left(\frac{1}{4}\right)\left(\frac{3}{4}\right)^{14}\begin{pmatrix}
15 \\
1
\end{pmatrix}
\end{equation*}$$
Jadi, secara keseluruhan peluang menjawab tepat 2 soal benar adalah
$$\begin{align*}
\left(\frac{1}{2}\right)^{10}\cdot \begin{pmatrix}
10 \\
2
\end{pmatrix}\cdot \left(\frac{3}{4}\right)^{15}&+\left(\frac{1}{2}\right)^{10}\cdot \left(\frac{1}{4}\right)^{2}\cdot \left(\frac{3}{4}\right)^{13}\begin{pmatrix}
15 \\
2
\end{pmatrix}\\
&+\left(\frac{1}{2}\right)^{10}\cdot \begin{pmatrix}
10 \\
1
\end{pmatrix}\cdot \left(\frac{1}{4}\right)\left(\frac{3}{4}\right)^{14}\begin{pmatrix}
15 \\
1
\end{pmatrix}
\end{align*}$$

14. Diberikan segitiga $ABC$ dengan keliling 3, dan jumlah kuadrat sisi-sisinya sama dengan 5. Jika jari-jari lingkaran luarnya sama dengan 1, maka jumlah ketiga garis tinggi dari segitiga $ABC$ tersebut adalah ...

Jawaban : 1
Misalkan sisi - sisi segitiga tersebut adalah $a,b,c$ maka diperoleh
$$\begin{equation*}
a+b+c=3
\end{equation*}$$
dan
$$\begin{equation*}
a^2+b^2+c^2=5
\end{equation*}$$
selain itu kita punya identitas
$$\begin{equation*}
(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ac)
\end{equation*}$$
sehingga diperoleh
$$\begin{equation*}
9=(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ac)=5+2(ab+bc+ac)
\end{equation*}$$
maka $ab+bc+ac=2$
Misalkan pula $R$ jari - jari lingkaran luar dari segitiga $ABC$ maka diketahui $R=1$. Dari aturan sinus diperoleh
$$\begin{equation*}
\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R=2
\end{equation*}$$
Oleh karena itu, jika $t_1,t_2, t_3$ berturut - turut adalah garis tinggi yang ditarik dari titik $C,A,B$ maka didapatkan
$$\begin{align*}
t_1+t_2+t_3&=b\sin A+c\sin B+a\sin C\\
&=b\cdot\frac{a}{2}+c\cdot\frac{b}{2}+a\cdot\frac{c}{2}\\
&=\frac{1}{2}\left(ab+bc+ac\right)\\
&=\frac{1}{2}\cdot 2=1
\end{align*}$$

15. Jika hasil kali tiga bilangan ganjil berurutan sama dengan 7 kali jumlah ketiga bilangan itu, maka jumlah kuadrat ketiga bilangan itu adalah ...

Jawaban : 83
Misal tiga bilangan tersebut adalah $t-2,t,t+2$ dengan $t$ bilangan ganjil. Sehingga diperoleh,
$$\begin{equation*}
(t-2)t(t+2)=7\cdot3t\Leftrightarrow t^2-25=0
\end{equation*}$$
Jika $t=5$ maka tiga bilangan tersebut adalah $3,5,7$ sehingga $3^2+5^2+7^2=83$
Jika $t=-5$ maka tiga bilangan tersebut adalah $-7,-5,-3$ sehingga $(-3)^2+(-5)^2+(-7)^2=83$.

16. Diketahui $\triangle ABC$ sama kaki dengan panjang $AB=AC=3,BC=2$, titik $D$ pada sisi $AC$ dengan panjang $AD=1$. Tentukan luas $\triangle ABD$.

Jawaban : $\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$
Dengan heron formula diperoleh,
$$\begin{equation*}
\text{Luas }\triangle ABC=\sqrt{4\cdot1\cdot1\cdot2}=2\sqrt{2}
\end{equation*}$$
Selain itu, kita punya
$$\begin{equation*}
\frac{\text{Luas }\triangle ABD}{\text{Luas }\triangle ABC}=\frac{AD}{AC}=\frac{1}{3}
\end{equation*}$$
sehingga diperoleh,
$$\begin{equation*}
\text{Luas }\triangle ABD=\frac{2\sqrt{2}}{3}
\end{equation*}$$

17. Suatu dadu ditos enam kali. Tentukan Probabilitas jumlah mata yang muncul 27.

Jawaban : $\dfrac{1666}{6^6}$
Untuk mencari banyak kemungkinan jumlah mata dadu yang muncul berjumlah 27 equivalen dengan mencari banyaknya penyelesaian dari persamaan $x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6=27$ dimana $x_i$ bilangan bulat dan $1\leq x_i\leq 6$ untuk setiap $i=1,2,3,4,5,6$. Yang setara dengan mencari koefisien $x^{27}$ dari $(x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6)^6$. Perhatikan,
$$\begin{align*}
x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6&=x(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5)\\
&=x(1+x+x^2+x^3(1+x+x^2))\\
&=x(1+x+x^2)(1+x^3)
\end{align*}$$
sehingga
$$\begin{equation*}
(x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6)^6=x^6(1+x^3)^6(1+x+x^2)^6
\end{equation*}$$
Dengan Binom Newton didapat,
$$\begin{equation*}
(1+x^3)^6=\sum_{i=0}^6x^{3i}
\end{equation*}$$
dan
$$\begin{align*}
(1+x+x^2)^6&=\sum_{i=0}^6(x^2)^{6-i}(x+1)^i\\
&=\sum_{i=0}^6x^{12-2i}\left(\sum_{j=0}^ix^j\right)\\
&=\sum_{i=0}^6\sum_{j=0}^ix^{12-2i+j}
\end{align*}$$
Oleh karena itu didapat
Koefisien $x^9$ dari $(x^3+1)^6$ adalah 20
Koefisien $x^{12}$ dari $(x^3+1)^6$ adalah 15
Koefisien $x^{15}$ dari $(x^3+1)^6$ adalah 6
Koefisien $x^{18}$ dari $(x^3+1)^6$ adalah 1
selain itu diperoleh juga,
Koefisien $x^{12}$ dari $(x^2+x+1)^6$ adalah 1
Koefisien $x^{9}$ dari $(x^2+x+1)^6$ adalah 50
Koefisien $x^{6}$ dari $(x^2+x+1)^6$ adalah 141
Koefisien $x^{6}$ dari $(x^2+x+1)^6$ adalah 50
Jadi, koefisien $x^{27}$ dari $x^6(1+x^3)^6(1+x+x^2)^6$ adalah
(20 x 1)+(15 x 50)+(6 x 141)+(1 x 50)=1666
Jadi, peluang diperoleh jumlah mata yang muncul sama dengan 27 adalah $\dfrac{1666}{6^6}$

18. Diberikan segitiga $ABC$ dengan sisi-sisi : $AB = x+1 ,BC = 4x-2$ dan $CA = 7 -x$. Tentukan nilai dari $x$ sehingga segitiga $ABC$ merupakan segitiga sama kaki.

Jawaban : $\frac{9}{5}$
Karena $x+1,4x-2$ dan $7-x$ membentuk sisi - sisi segitiga maka berlaku,
$$\begin{align*}
(x+1)+(4x-2)>7-x&\text { sehingga } x>\frac{4}{3}\\
(x+1)+(7-x)>4x-2&\text { sehingga } x<\frac{5}{2}\\
(7-x)+(4x-2)>x+1&\text { sehingga } x>-2
\end{align*}$$
Oeh karena itu,
Jika $x+1=4x-2$ diperoleh $x=1$ yang jelas tidak mungkin sebab $\frac{4}{3}< x < \frac{5}{2}$.
Jika $x+1=7-x$ diperoleh $x=3$ yang jelas tidak mungkin sebab $\frac{4}{3}< x< \frac{5}{2}$.
Jika $7-x=4x-2$ diperoleh $x=\frac{9}{5}$.

19. Misalkan terdapat 5 kartu dimana setiap kartu diberi nomor yang berbeda yaitu 2, 3, 4, 5, 6. Kartu-kartu tersebut kemudian dijajarkan dari kiri ke kanan secara acak sehingga berbentuk barisan. Berapa probabilitas bahwa banyaknya kartu yang dijajarkan dari kiri ke kanan dan ditempatkan pada tempat ke- $i$ akan lebih besar atau sama dengan $i$ untuk setiap $i$ dengan $1\leq i\leq 5$

Jawaban : $\frac{2}{15}$
Susunan yang paling sederhana adalah 2, 3, 4, 5, 6
Untuk memenuhi kondisi pada soal maka masing - masing angka 2, 3, 4, dan 5 hanya bisa digeser ke kanan satu langkah saja. Cara ini ada sebanyak $2^4=16$.
Sedangkan untuk kemungkinan angka digeser ke kiri tidak perlu kita perhatikan, sebab jika kita menggeser angka ke kiri maka pasti ada angka yang harus digeser ke kanan sehingga sudah masuk perhitungan yang pertama di atas. Oleh karena itu, besar probabilitas adalah $\frac{16}{5!}=\frac{2}{15}$.

20. N lingkaran digambar pada sebuah bidang datar demikian sehingga terdapat enam titik dimana keenam titik tersebut terdapat pada paling sedikit tiga lingkaran. Berapa N terkecil yang memenuhi kondisi tersebut?

Jawaban : 5
Jika kita menggambar 3 lingkaran pada bidang datar maka maksimal akan terbentuk 6 titik potong, seperti gambar berikut

Karena melalui sebarang 3 titik yang tidak segaris dapat dibentuk sebuah lingkaran yang melalui ketiga titik tersebut, maka dengan membuat dua lingkaran yang masing - masing melalui 3 titik $A, B, C, D, E, F$ akan terbentuk 5 lingkaran dimana terdapat 6 titik yang masing - masing terdapat pada 3 lingkaran, sesuai apa yang diminta.

Seluruh soal OSK Matematika SMA tahun 2012 telah selesai saya berikan pembahasan. Silakan dikoreksi.