tuturwidodo..com

tuturwidodo..com

10 April 2012

Soal dan Pembahasan OSK Matematika SMA tahun 2012 Bagian Kedua

Ditulis Oleh pada 10 April 2012


Melanjutkan kembali postinganku tentang Soal dan Pembahasan OSK Matematika SMA tahun 2012 yang pada bagian pertama sudah saya berikan pembahasan untuk nomor 1 sampai nomor 10. Bagi yang ingin melihat kembali Soal dan Pembahasan OSK Matematika SMA tahun 2012 Bagian Pertama silakan klik di sini. Untuk kali ini, saya berikan pembahasan nomor 11 sampai nomor 20, tentunya sesuai dengan pemahamanku. Oleh karena itu, segala saran dan masukan serta koreksi sangat saya harapkan agar pembahasan soal OSK Matematika yang saya buat ini semakin berkualitas.

Berikut soal nomor 11 sampai nomor 20 tersebut :

11. Jumlah semua bilangan bulat $x$ sehingga $^2 \log (x^2-4x-1)$ merupakan bilangan bulat adalah ...






Jawaban : 4
Agar $^2 \log (x^2-4x-1)$ bernilai bulat maka $x^2-4x-1=2^n$ untuk suatu bilangan bulat $n$. Karena $x^2-4x-1$ bernilai bulat maka $n\geq 0$. Perhatikan juga,
$$\begin{align*}
x^2-4x-1=2^n&\Leftrightarrow x^2-4x+4-1=2^n+4\\
&\Leftrightarrow (x-2)^2=2^n+5
\end{align*}$$
tetapi karena $(x-2)^2\equiv 0,1,\text{ atau }4 \text{ mod }8$ dan untuk $n\geq 3, 2^n+5\equiv5\text{ mod }8$ maka $n\leq 2$. Jadi, nilai yang memenuhi $n=0,1,2$. Mudah dicek hanya nilai $n=2$ yang memenuhi dengan memperoleh persamaan kuadrat $x^2-4x-5=0$. Jadi, $x_1+x_2=4$.

12. Ada berapa faktor positif dari $2^7 3^5 5^3 7^2$ yang merupakan kelipatan 6?






Jawaban : 420
Karena $2^73^55^37^2=2^63^45^37^2\cdot 6$, maka banyaknya faktor positif $2^73^55^37^2$ yang merupakan kelipatan 6 sama dengan banyaknya faktor positif dari $2^63^45^37^2$ yaitu
(6 + 1) x (4 + 1) x (3 + 1) x (2 + 1) = 420.

13. Suatu set soal terdiri dari 10 soal pilihan B atau S dan 15 soal pilihan ganda dengan 4 pilihan. Seorang siswa menjawab semua soal dengan menebak jawaban secara acak. Tentukan Probabilitas ia menjawab dengan benar hanya 2 soal?






Jawaban :
Jika 2 soal benar tersebut berasal dari soal tipe B atau S maka peluangnya adalah
$$\begin{equation*}
\left(\frac{1}{2}\right)^{10}\cdot \begin{pmatrix}
10 \\
2
\end{pmatrix}\cdot \left(\frac{3}{4}\right)^{15}
\end{equation*}$$
Jika 2 soal benar tersebut berasal dari soal tipe pilihan ganda maka peluangnya adalah
$$\begin{equation*}
\left(\frac{1}{2}\right)^{10}\cdot \left(\frac{1}{4}\right)^{2}\cdot \left(\frac{3}{4}\right)^{13}\begin{pmatrix}
15 \\
2
\end{pmatrix}
\end{equation*}$$
Jika 1 soal benar tersebut berasal dari soal tipe B atau S dan 1 soal benar berasal dari pilihan ganda maka peluangnya adalah
$$\begin{equation*}
\left(\frac{1}{2}\right)^{10}\cdot \begin{pmatrix}
10 \\
1
\end{pmatrix}\cdot \left(\frac{1}{4}\right)\left(\frac{3}{4}\right)^{14}\begin{pmatrix}
15 \\
1
\end{pmatrix}
\end{equation*}$$
Jadi, secara keseluruhan peluang menjawab tepat 2 soal benar adalah
$$\begin{align*}
\left(\frac{1}{2}\right)^{10}\cdot \begin{pmatrix}
10 \\
2
\end{pmatrix}\cdot \left(\frac{3}{4}\right)^{15}&+\left(\frac{1}{2}\right)^{10}\cdot \left(\frac{1}{4}\right)^{2}\cdot \left(\frac{3}{4}\right)^{13}\begin{pmatrix}
15 \\
2
\end{pmatrix}\\
&+\left(\frac{1}{2}\right)^{10}\cdot \begin{pmatrix}
10 \\
1
\end{pmatrix}\cdot \left(\frac{1}{4}\right)\left(\frac{3}{4}\right)^{14}\begin{pmatrix}
15 \\
1
\end{pmatrix}
\end{align*}$$

14. Diberikan segitiga $ABC$ dengan keliling 3, dan jumlah kuadrat sisi-sisinya sama dengan 5. Jika jari-jari lingkaran luarnya sama dengan 1, maka jumlah ketiga garis tinggi dari segitiga $ABC$ tersebut adalah ...






Jawaban : 1
Misalkan sisi - sisi segitiga tersebut adalah $a,b,c$ maka diperoleh
$$\begin{equation*}
a+b+c=3
\end{equation*}$$
dan
$$\begin{equation*}
a^2+b^2+c^2=5
\end{equation*}$$
selain itu kita punya identitas
$$\begin{equation*}
(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ac)
\end{equation*}$$
sehingga diperoleh
$$\begin{equation*}
9=(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ac)=5+2(ab+bc+ac)
\end{equation*}$$
maka $ab+bc+ac=2$
Misalkan pula $R$ jari - jari lingkaran luar dari segitiga $ABC$ maka diketahui $R=1$. Dari aturan sinus diperoleh
$$\begin{equation*}
\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R=2
\end{equation*}$$
Oleh karena itu, jika $t_1,t_2, t_3$ berturut - turut adalah garis tinggi yang ditarik dari titik $C,A,B$ maka didapatkan
$$\begin{align*}
t_1+t_2+t_3&=b\sin A+c\sin B+a\sin C\\
&=b\cdot\frac{a}{2}+c\cdot\frac{b}{2}+a\cdot\frac{c}{2}\\
&=\frac{1}{2}\left(ab+bc+ac\right)\\
&=\frac{1}{2}\cdot 2=1
\end{align*}$$

15. Jika hasil kali tiga bilangan ganjil berurutan sama dengan 7 kali jumlah ketiga bilangan itu, maka jumlah kuadrat ketiga bilangan itu adalah ...






Jawaban : 83
Misal tiga bilangan tersebut adalah $t-2,t,t+2$ dengan $t$ bilangan ganjil. Sehingga diperoleh,
$$\begin{equation*}
(t-2)t(t+2)=7\cdot3t\Leftrightarrow t^2-25=0
\end{equation*}$$
Jika $t=5$ maka tiga bilangan tersebut adalah $3,5,7$ sehingga $3^2+5^2+7^2=83$
Jika $t=-5$ maka tiga bilangan tersebut adalah $-7,-5,-3$ sehingga $(-3)^2+(-5)^2+(-7)^2=83$.

16. Diketahui $\triangle ABC$ sama kaki dengan panjang $AB=AC=3,BC=2$, titik $D$ pada sisi $AC$ dengan panjang $AD=1$. Tentukan luas $\triangle ABD$.






Jawaban : $\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$
Dengan heron formula diperoleh,
$$\begin{equation*}
\text{Luas }\triangle ABC=\sqrt{4\cdot1\cdot1\cdot2}=2\sqrt{2}
\end{equation*}$$
Selain itu, kita punya
$$\begin{equation*}
\frac{\text{Luas }\triangle ABD}{\text{Luas }\triangle ABC}=\frac{AD}{AC}=\frac{1}{3}
\end{equation*}$$
sehingga diperoleh,
$$\begin{equation*}
\text{Luas }\triangle ABD=\frac{2\sqrt{2}}{3}
\end{equation*}$$

17. Suatu dadu ditos enam kali. Tentukan Probabilitas jumlah mata yang muncul 27.






Jawaban : $\dfrac{1666}{6^6}$
Untuk mencari banyak kemungkinan jumlah mata dadu yang muncul berjumlah 27 equivalen dengan mencari banyaknya penyelesaian dari persamaan $x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6=27$ dimana $x_i$ bilangan bulat dan $1\leq x_i\leq 6$ untuk setiap $i=1,2,3,4,5,6$. Yang setara dengan mencari koefisien $x^{27}$ dari $(x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6)^6$. Perhatikan,
$$\begin{align*}
x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6&=x(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5)\\
&=x(1+x+x^2+x^3(1+x+x^2))\\
&=x(1+x+x^2)(1+x^3)
\end{align*}$$
sehingga
$$\begin{equation*}
(x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6)^6=x^6(1+x^3)^6(1+x+x^2)^6
\end{equation*}$$
Dengan Binom Newton didapat,
$$\begin{equation*}
(1+x^3)^6=\sum_{i=0}^6x^{3i}
\end{equation*}$$
dan
$$\begin{align*}
(1+x+x^2)^6&=\sum_{i=0}^6(x^2)^{6-i}(x+1)^i\\
&=\sum_{i=0}^6x^{12-2i}\left(\sum_{j=0}^ix^j\right)\\
&=\sum_{i=0}^6\sum_{j=0}^ix^{12-2i+j}
\end{align*}$$
Oleh karena itu didapat
Koefisien $x^9$ dari $(x^3+1)^6$ adalah 20
Koefisien $x^{12}$ dari $(x^3+1)^6$ adalah 15
Koefisien $x^{15}$ dari $(x^3+1)^6$ adalah 6
Koefisien $x^{18}$ dari $(x^3+1)^6$ adalah 1
selain itu diperoleh juga,
Koefisien $x^{12}$ dari $(x^2+x+1)^6$ adalah 1
Koefisien $x^{9}$ dari $(x^2+x+1)^6$ adalah 50
Koefisien $x^{6}$ dari $(x^2+x+1)^6$ adalah 141
Koefisien $x^{6}$ dari $(x^2+x+1)^6$ adalah 50
Jadi, koefisien $x^{27}$ dari $x^6(1+x^3)^6(1+x+x^2)^6$ adalah
(20 x 1)+(15 x 50)+(6 x 141)+(1 x 50)=1666
Jadi, peluang diperoleh jumlah mata yang muncul sama dengan 27 adalah $\dfrac{1666}{6^6}$

18. Diberikan segitiga $ABC$ dengan sisi-sisi : $AB = x+1 ,BC = 4x-2$ dan $CA = 7 -x$. Tentukan nilai dari $x$ sehingga segitiga $ABC$ merupakan segitiga sama kaki.






Jawaban : $\frac{9}{5}$
Karena $x+1,4x-2$ dan $7-x$ membentuk sisi - sisi segitiga maka berlaku,
$$\begin{align*}
(x+1)+(4x-2)>7-x&\text { sehingga } x>\frac{4}{3}\\
(x+1)+(7-x)>4x-2&\text { sehingga } x<\frac{5}{2}\\
(7-x)+(4x-2)>x+1&\text { sehingga } x>-2
\end{align*}$$
Oeh karena itu,
Jika $x+1=4x-2$ diperoleh $x=1$ yang jelas tidak mungkin sebab $\frac{4}{3}< x < \frac{5}{2}$.
Jika $x+1=7-x$ diperoleh $x=3$ yang jelas tidak mungkin sebab $\frac{4}{3}< x< \frac{5}{2}$.
Jika $7-x=4x-2$ diperoleh $x=\frac{9}{5}$.

19. Misalkan terdapat 5 kartu dimana setiap kartu diberi nomor yang berbeda yaitu 2, 3, 4, 5, 6. Kartu-kartu tersebut kemudian dijajarkan dari kiri ke kanan secara acak sehingga berbentuk barisan. Berapa probabilitas bahwa banyaknya kartu yang dijajarkan dari kiri ke kanan dan ditempatkan pada tempat ke- $i$ akan lebih besar atau sama dengan $i$ untuk setiap $i$ dengan $1\leq i\leq 5$






Jawaban : $\frac{2}{15}$
Susunan yang paling sederhana adalah 2, 3, 4, 5, 6
Untuk memenuhi kondisi pada soal maka masing - masing angka 2, 3, 4, dan 5 hanya bisa digeser ke kanan satu langkah saja. Cara ini ada sebanyak $2^4=16$.
Sedangkan untuk kemungkinan angka digeser ke kiri tidak perlu kita perhatikan, sebab jika kita menggeser angka ke kiri maka pasti ada angka yang harus digeser ke kanan sehingga sudah masuk perhitungan yang pertama di atas. Oleh karena itu, besar probabilitas adalah $\frac{16}{5!}=\frac{2}{15}$.

20. N lingkaran digambar pada sebuah bidang datar demikian sehingga terdapat enam titik dimana keenam titik tersebut terdapat pada paling sedikit tiga lingkaran. Berapa N terkecil yang memenuhi kondisi tersebut?






Jawaban : 5
Jika kita menggambar 3 lingkaran pada bidang datar maka maksimal akan terbentuk 6 titik potong, seperti gambar berikut

Karena melalui sebarang 3 titik yang tidak segaris dapat dibentuk sebuah lingkaran yang melalui ketiga titik tersebut, maka dengan membuat dua lingkaran yang masing - masing melalui 3 titik $A, B, C, D, E, F$ akan terbentuk 5 lingkaran dimana terdapat 6 titik yang masing - masing terdapat pada 3 lingkaran, sesuai apa yang diminta.

Seluruh soal OSK Matematika SMA tahun 2012 telah selesai saya berikan pembahasan. Silakan dikoreksi.





33 comments :

  1. Pak, Mohon penjelasan Soal OSK 2012, No. 17. Di solusi njenengan tertulis bahwa x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6=27 equivalen dengan mencari koef. x^27 dari (x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6)^6. Terima Kasih

    ReplyDelete
    Replies
    1. Kalo penjelasan formalnya sih pakai pengertian Generating Function Pak. Cuma kalo ditanya masalah begini saya lebih senang menjelaskan secara tidak ilmiah aja (maksudnya agar lebih simple and untuk pengantar belajar definisi formalnya).
      Dadu memiliki angka 1, 2, 3, 4, 5, 6 maka saya wakili dengan $x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6$ jadi $x^k$ mewakili angka $k$. Karena keenam dadu identik maka jadinga dapat $(x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6)^6$.
      Tugasnya mencari banyak komposisi yang mungkin sehingga jumlah dadu sama dengan 27. Salah satu contohnya adalah 2+4+4+5+6+6 = 27 maka sesuai permisalan kita bentuk ini akan sama saja dengan bentuk perkalian dari $x^2x^4x^4x^5x^6x^6=x^{27}$, makanya untuk mencari jumlah mata dadu sama dengan 27, sama aja mencari berapa banyak cara kita memperoleh bentuk $x^{27}$ dan itu tercermin dari besar koefisien dari $x^{27}$.

      Maaf kalo penjelasannya memusingkan dan tidak ilmiah Pak.

      Delete
    2. OK. Trims Pak, Penjelasannya. Insyaallah saya Paham.

      Delete
    3. Sama2 Pak, Selamat juga siswa Bapak lolos OSP. Moga Sukses!

      Delete
  2. Mohon juga kalau njenengan berkenan, mohon bisa dikirim ke email saya, solusi OSK 2012 ini Pak. Terima kasih (didiksarden@gmail.com)

    ReplyDelete
    Replies
    1. Oke pak, nantinya kalo PDFnya sudah jadi, insyaAllah saya kirim.

      Delete
    2. Pak Didik,Pembahasan versi PDFnya sudah saya kirim ke email Bapak.

      Delete
  3. Pak tutur, saya boleh juga tidak minta pdf-nya?
    Thax.
    kalau boleh bisa dikirim di email aku
    stenlyivanmamanua@yahoo.com.
    Thax

    ReplyDelete
    Replies
    1. Oke, boleh2 aja. Ntar aku kirim

      Delete
    2. Terima kasih...

      Delete
  4. pak tutur,, saya minta juga dong versi pdf nya... kirim ke rommeljonathan@yahoo.com

    ReplyDelete
    Replies
    1. Oke sudah aku kirim. Semoga bermanfaat

      Delete
  5. pak, saya juga mau minta dong yang versi pdf-nya, email--> habibah_ulfah@yahoo.com

    ReplyDelete
  6. saya juga donk mas , minta versi pdf-nya,
    email saya > the_lastmanstanding@yahoo.com

    makasih sebelumnya

    ReplyDelete
    Replies
    1. oke2, sudah aku kirim file pdfnya

      Delete
  7. Wah saya jga bleh minta mas pdfnya..... di alfysta@yahoo.com

    ReplyDelete
  8. Daripada kirim-kirim email terus, mending Mas Tutur upload aja file PDF nya di blog ini.

    ReplyDelete
  9. trims sudah mengunjungi blog saya dan info jawaban osk 2012

    ReplyDelete
    Replies
    1. iya sama-sama mas Rizky, sharing is charing

      Delete
  10. Anonymous13 May, 2012

    mas tutur tolong dong upload pembahasan osn matematika sma 2011 tk nasional.

    ReplyDelete
  11. Anonymous24 May, 2012

    perasaan q jawaban q agak beda, tapi lolos OSP...
    awkawkawkawkawkawkawkakwk..
    Thx for materinya..
    Buat persiapan OSP

    ReplyDelete
    Replies
    1. Yah kalo lolos ke OSP ga harus benar semua kali. Tergantung pasing grade daerah masing2.

      Boleh donk bagi2 idenya, buat memperkaya jawaban

      Delete
  12. Anonymous16 June, 2012

    pak, bedanya passing grade sama perwakilan gimana ?

    ReplyDelete
    Replies
    1. Kalo perwakilan itu biasanya diambil yang terbaik di kabupaten/kotanya (biasanya 3)

      Tetapi di setiap kabupaten ada beberapa anak yang ga masuk 3 besar tapi di tingkat provinsi secara keseluruhan berada di posisi atas, nah yang kayak gini nich lolos lewat passing grade.

      tujuan passing grade sih untuk menghindari hilangnya bakat di daerah2 yang persaingannya ketat

      Delete
  13. pak tuturr, saya bisa minta tolong kh, untuk mengirimkan pembahasan osk sma 2012 ke email saya ., mohon konfirmasinya.terimakasih

    ReplyDelete
  14. pak tuturr, saya ali topan . saya minta tolong , untuk mengirimkan pembahasan osk sma 2012 ke email saya ., mohon konfirmasinya.terimakasih

    ReplyDelete
    Replies
    1. Pembahasan OSK SMA 2012 sudah saya posting lengkap di blog ini. Tinggal download saja

      Delete
  15. Pak Tutur.. Saya boleh minta versi pdf nya tidak....?
    Tolong di kirim ke email saya>> yosephineabigailtania@yahoo.co.id

    terima kasih

    ReplyDelete
  16. pak tutur, bisa tolong jelaskan nomor 17? saya benar benar tidak mengerti

    ReplyDelete
  17. Pak saya juga minta file pdfnya boleh?
    tlng kirim ke email lilissuryani.math@yahoo.com

    ReplyDelete