tko

tko

tko

tko

15 March 2012

Soal Olimpiade Matematika SMP ( soal dari teman)

Ditulis Oleh pada 15 March 2012


Kemarin saya ditanya oleh teman beberapa soal SMP yang cukup menarik. Saya rasa tipe soalnya mirip dengan soal olimpiade (walau kurang yakin juga sih). Tapi menurut saya mau soal olim atau bukan yang terpenting soalnya cukup bagus dan pantas untuk dicoba.

Ada empat soal yang ditanyakan teman saya. Semuanya saya tulis pada postingan kali ini. Pembahasan dari masing - masing soal juga sudah saya berikan. Tapi sekali lagi perlu diingat bahwa satu soal punya banyak variasi cara penyelesaian. Oleh karena itu, bagi pembaca yang memiliki cara penyelesaian yang berbeda, bisa anda tulis pada kolom komentar (apabila berkenan tentunya). Berikut empat soal tersebut:

1. Sebuah pecahan disebut Toba$-n$ bila pecahan itu mempunyai pembilang 1 dan penyebut $n$ . Jika $A$ adalah jumlah Toba$-101$ , Toba$-102$, Toba$-103$, sampai dengan Toba$-200$ , tunjukkan bahwa
$$\begin{equation*}
\frac{7}{12}< A <\frac{5}{6}
\end{equation*}$$






Dari keterangan pada soal diperoleh,
$$\begin{equation*}
A=\frac{1}{101}+\frac{1}{102}+\cdots\frac{1}{200}
\end{equation*}$$
Perhatikan bahwa,
$$\begin{align*}
A&=\frac{1}{101}+\frac{1}{102}+\cdots\frac{1}{200}\\
&>\underbrace{\frac{1}{150}+\frac{1}{150}+\cdots+\frac{1}{150}}_{\frac{1}{150}\text{ sebanyak 50 }}+\underbrace{\frac{1}{200}+\cdots+\frac{1}{200}}_{\frac{1}{200}\text{ sebanyak }50}\\
&=\frac{50}{150}+\frac{50}{200}\\
&=\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\\
&=\frac{7}{12}
\end{align*}$$
dan
$$\begin{align*}
A&=\frac{1}{101}+\frac{1}{102}+\cdots\frac{1}{200}\\
&<\underbrace{\frac{1}{100}+\frac{1}{100}+\cdots+\frac{1}{100}}_{\frac{1}{100}\text{ sebanyak 50 }}+\underbrace{\frac{1}{150}+\cdots+\frac{1}{150}}_{\frac{1}{150}\text{ sebanyak }50}\\
&=\frac{50}{100}+\frac{50}{150}\\
&=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\\
&=\frac{5}{6}
\end{align*}$$
Jadi, terbukti $\frac{7}{12}< A <\frac{5}{6}$

2. Jika $a,b$ dan $c$ memenuhi sistem persamaan
$$\begin{align*}
\frac{ab}{a+b}&=\frac{1}{2}\\
\frac{bc}{b+c}&=\frac{1}{3}\\
\frac{ac}{a+c}&=\frac{1}{7}
\end{align*}$$
Tentukan nilai $a-c^b$!






Karena $\frac{ab}{a+b}=\frac{1}{2}$ maka $2=\frac{a+b}{ab}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$. Demikian pula dari $\frac{bc}{b+c}=\frac{1}{3}$ dan $\frac{ac}{a+c}=\frac{1}{7}$ berturut - turut diperoleh $\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=3$ dan $\frac{1}{a}+\frac{1}{c}=7$. Dengan menjumlahkan ketiga persamaan yang baru saja diperoleh kita dapat,
$$\begin{equation*}
\frac{2}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c}=12\Leftrightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=6
\end{equation*}$$
Dari $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=6$ dan $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=2$ diperoleh $\frac{1}{c}=4\Leftrightarrow c=\frac{1}{4}$.
Dari $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=6$ dan $\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=3$ diperoleh $\frac{1}{a}=3\Leftrightarrow a=\frac{1}{3}$.
Dari $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=6$ dan $\frac{1}{a}+\frac{1}{c}=7$ diperoleh $\frac{1}{b}=-1\Leftrightarrow b=-1$.
Dengan demikian nilai $a-c^b=\frac{1}{3}-(\frac{1}{4})^{-1}=-\frac{11}{3}$.

3. Jika $x+y+z=2$, tunjukkan bahwa
$$\begin{equation*}
\frac{1}{xy+z-1}+\frac{1}{yz+x-1}+\frac{1}{xz+y-1}=\frac{-1}{(x-1)(y-1)(z-1)}
\end{equation*}$$






Karena $x+y+z=2$ maka diperoleh
$$\begin{align*}
xy+z-1&=xy+z-2+1\\
&=xy+z-(x+y+z)+1\\
&=xy-x-y+1\\
&=(x-1)(y-1)
\end{align*}$$
dengan cara serupa didapat $yz+x-1=(y-1)(z-1)$ dan $xz+y-1=(x-1)(z-1)$. Oleh karena itu,
$$\begin{align*}
&\frac{1}{xy+z-1}+\frac{1}{yz+x-1}+\frac{1}{xz+y-1}\\
&=\frac{1}{(x-1)(y-1)}+\frac{1}{(y-1)(z-1)}+\frac{1}{(x-1)(z-1)}\\
&=\frac{x-1+y-1+z-1}{(x-1)(y-1)(z-1)}\\
&=\frac{2-3}{(x-1)(y-1)(z-1)}\\
&=\frac{-1}{(x-1)(y-1)(z-1)}
\end{align*}$$

4. Diketahui $ABCD$ dan $DEFG$ adalah dua jajargenjang. Titik $E$ terletak pada $AB$ dan tititk $C$ terletak pada $FG$. Luas $ABCD$ adalah 20 satuan luas. $H$ adalah titik pada $DG$ sehingga $EH$ tegak lurus $DG$. Jika panjang $DG$ adalah 5 satuan panjang, tentukan panjang $EH$ !







Perhatikan $\triangle ACD$ dan $\triangle CED$ yang keduanya memiliki alas yang berhimpit yaitu $CD$. Karena $AB//CD$ maka $\triangle ACD$ dan $\triangle CED$ memiliki tinggi yang sama panjang. Oleh karena itu, luas $\triangle CED$ = luas $\triangle ACD$ = setengah luas $ABCD$ = 10 satuan luas.
Perhatikan pula $\triangle CED$ dan $\triangle EDG$ yang keduanya memiliki alas yang berhimpit yaitu $DE$. Karena $DE//GF$ maka $\triangle CED$ dan $\triangle EDG$ memiliki tinggi yang sama panjang. Oleh karena itu, luas $\triangle EDG$ = luas $\triangle CED$ = 10 satuan luas.
Dengan demikian, luas $DEFG$ = 2 x luas $EDG$ = 20. Padahal luas $DEFG=DG\cdot EH=5EH$. Jadi, diperoleh $EH=4$ satuan panjang.

Bagi yang berkeinginan mengunduh soal dan pembahasan versi PDF-nya, silakan klik di sini





7 comments :

  1. Betul Mas, itu memang sebagian dari soal OSN SMP tingkat Nasional th. 2010 di medan.

    ReplyDelete
  2. @Saiful Arif,S.Pd : O ini memang betul soal OSN to Pak Arif. Oh ya, bapak punya seluruh soalnya tidak pak? Kalau punya mohon saya bisa dikasih. Trimakasih :)

    ReplyDelete
  3. Seluruh soal OSK,OSN,OSP Semua th saya punya. Kecuali OSN th 2010 saya punyanya persis yg mas Tutur tulis. Itupun diambil dari sampel buku silabus OSN 2011.

    ReplyDelete
  4. kalau sudah punya semua soal OSN 2010, di share ya pak :)

    ReplyDelete
  5. Bagaimana ya pak cara menuliskan pecahan seperti itu?

    Terimakasih ^_^

    ReplyDelete