Soal Logaritma Pasiad VII SMP

Beberapa hari yang lalu ada siswa SMP yang bertanya soal tentang logaritma. Usut punya usut, itu adalah soal babak penyisihan lomba Pasiad VII tingkat SMP. Sebelumnya aku ingat beberapa bulan yang lalu aku pernah ditanya teman soal yang sama persis dengan soal yang ditanyakan siswa SMP tersebut. Namun baru sekarang ada keinginan untuk diposting. Kali aja masih banyak siswa - siswa SMP lainnya yang masih bingung. Jadi, semoga saja ada manfaatnya

Jika $^6\log 30=a$ dan $^{15}\log 24=b$, maka tentukanlah nilai dari $^{12}\log 60$

Solusi

Terlebih dahulu perhatikan bahwa,
$$\begin{align*}
^6\log 30 \cdot ^{15}\log 24=ab&\Leftrightarrow (^6\log 2 +^6\log 15)^{15}\log 24=ab\\
&\Leftrightarrow ^6\log 2\cdot ^{15}\log 24+^6\log 24=ab\\
&\Leftrightarrow ^6\log 2\cdot b+1+^6\log 4=ab\\
&\Leftrightarrow ^6\log 2\cdot b+2\cdot^6\log 2=ab-1\\
&\Leftrightarrow ^6\log 2(b+2)=ab\\
&\Leftrightarrow ^6\log 2=\frac{ab-1}{b+2}
\end{align*}$$
Sehingga,
$$\begin{align*}
^{12}\log 60&=\frac{^6\log 60}{^6\log 12}\\
&=\frac{^6\log 30+^6\log 2}{^6\log 6+^6\log 2}\\
&=\frac{a+^6\log 2}{1+^6\log 2}\\
&=\frac{a+\frac{ab-1}{b+2}}{1+\frac{ab-1}{b+2}}\\
&=\frac{ab-1+ab+2a}{ab-1+b+2}\\
&=\frac{2ab+2a-1}{ab+b+1}
\end{align*}$$