tko

tko

tko

tko

17 July 2011

Pembahasan Soal OSN SMP Tahun 2009 Hari Pertama

Ditulis Oleh pada 17 July 2011


Pada kesempatan kali ini, saya akan mencoba membahas soal - soal OSN SMP tingkat Nasional tahun 2009 (Soal tahun 2010 yang tingkat nasional aku tidak punya. Jadi, bila ada yang punya silakan berbagi denganku). Soal OSN 2009 ini aku peroleh dari Bpk Saiful Arif (olimatik.blogspot.com). Berikut soal dan pembahasan soal - soal OSN 2009.


Soal 1. Sebuah persamaan kuadrat memiliki akar - akar bilangan asli $a$ dan $b $. Persamaan kuadrat lainnya memiliki akar - akar $b $ dan $c$ dengan $a\neq c$. Jika $a,b $ dan $c$ merupakan bilangan - bilangan prima yang kurang dari 15, ada berapa macam pasangan yang mungkin memenuhi syarat tersebut (dengan syarat koefisien dari suku kuadratnya sama dengan 1)!

Jawaban
Misalkan pasangan persamaan kuadrat tersebut adalah $(P_1,P_2)$. Perlu diperhatikan bahwa $(P_1,P_2)$ bukan pasangan berurutan. Jadi, bentuk $(P_2,P_1)$ sama dengan $(P_1,P_2)$. Selanjutnya kemungkinan bentuk dari $P_1$ dan $P_2$ yaitu
$$\begin{align*}
P_1 &:x^2-(a+b)x+ab=0\\
P_2 &:x^2-(b+c)x+bc=0
\end{align*}$$
dengan $a,b $ dan $c$ anggota dari himpunan $T=\{2,3,5,7,11,13\}$.
Sehingga banyaknya pasangan $(P_1,P_2)$ equivalen dengan banyak cara memilih tripel $(a,b,c)$ dari $T$. Ada dua kasus yang mungkin, yaitu
  1. Ketiga bilangan berbeda, dengan kata lain $a\neq b \neq c$
    Banyaknya cara mengambil tiga bilangan berbeda dari himpunan $T$ adalah $\begin{pmatrix}
    6 \\
    3
    \end{pmatrix}
    =20$. Padahal setiap tripel $(a,b,c)$ yang kita ambil ada enam susunan yang mungkin yaitu $(a,b,c),(a,c,b),(b,a,c),(b,c,a),(c,a,b)$ dan $(c,b,a)$. Tetapi karena $(P_1,P_2)$ bukan pasangan berurutan berakibat $(a,b,c)$ dan $(c,b,a)$ menghasilkan pasangan $(P_1,P_2)$ yang sama. Demikian pula $(a,c,b)$ dan $(b,c,a)$ serta $(b,a,c)$ dan $(c,a,b)$. Oleh karena itu, setiap tripel $(a,b,c)$ yang kita ambil hanya ada tiga kemungkinan susunan. Jadi, untuk kasus pertama kemungkinan terbentuk pasangan $(P_1,P_2)$ ada sebanyak 20 x 3 = 60 susunan.
  2. Ada dua bilangan yang sama, dengan kata lain $a=b\neq c$. Untuk kasus $a\neq b=c$ pasangan $P_1, P_2$ yang dihasilkan sama saja.
    Banyaknya cara mengambil dua bilangan berbeda dari himpunan $T$ adalah $\begin{pmatrix}
    6 \\
    2
    \end{pmatrix}=15
    $. Untuk setiap dua bilangan $a,b $ yang kita ambil ada dua kemungkinan tripel $(a,b,c)$ yang terbentuk yaitu $(a,a,b)$ dan $(b,b,a)$. Oleh karena itu, untuk kasus kedua hanya ada 15 x 2 = 30 kemungkinan pasangan $(P_1,P_2)$ yang bisa dibentuk.

Berdasarkan kedua kasus dia atas banyaknya pasangan $(P_1,P_2)$ yang bisa dibentuk adalah $60 + 30=90$ pasang.

Soal 2. Di Indonesia dahulu dikenal pecahan yang disebut "Pecahan Nusantara". Pecahan Nusantara adalah pecahan $\dfrac{a}{b}$ sedemikian sehingga $a$ dan $b $ bilangan - bilangan asli dan $a< b $. Tentukan jumlah semua pecahan nusantara mulai dari pecahan dengan $b=2$ sampai dengan $b=1000$.


Jawaban
Misal, $S_k$ adalah jumlah seluruh pecahan nusantara untuk $b=k$ dan $B_k$ adalah jumlah semua pecahan nusantara mulai dari pecahan dengan $b=2$ sampai dengan $b=k$ dengan kata lain
$$\begin{equation*}
B_k=\sum\limits_{i=2}^k S_k=S_2+S_3+\cdots+S_k
\end{equation*}$$

Maka kita dapat,
$$\begin{align*}
S_k&=\frac{1+2+3+\cdots+(k-1)}{k}\\
&=\frac{k-1}{2}
\end{align*}$$
dan
$$\begin{align*}
B_k&=S_2+S_3+S_4+\cdots +S_{k-1}+S_k\\
&=\frac{2-1}{2}+\frac{3-1}{2}+\frac{4-1}{2}+\cdots+\frac{(k-1)-1}{2}+\frac{k-1}{2}\\
&=\frac{1}{2}\left(2+3+4+\cdots+(k-1)+k-(k-1)\right)\\
&=\frac{1}{2}\left(1+2+3+4+\cdots+(k-1)+k-k\right)\\
&=\frac{1}{2}\left(\frac{k(k-1)}{2}\right)\\
&=\frac{k(k-1)}{4}
\end{align*}$$
sehingga
$$\begin{equation*}
B_{1000}=\frac{1000 \text{ x }999}{4}=249750
\end{equation*}$$
Jadi, jumlah semua pecahan nusantara mulai dari pecahan dengan $b=2$ sampai dengan $b=1000$ adalah 249750

Soal 3. Perhatikan gambar berikut. Huruf - huruf $a,b,c,d$ dan $e$ di dalam kotak akan diganti dengan angka - angka dari $1,2,3,4,5,6,7,8$ dan $9$ dengan syarat $a,b,c,d,e$ harus berlainan. Jika diketahui $ae=bd$, ada berapa susunan yang mungkin terjadi?



Jawaban

Karena $ae=bd$ maka $a,b,d,e$ hanya bisa dipilih dari angka - angka 1,2,3,4,6,8,9 dengan kemungkinan hasil perkalian sebagai berikut
  1. 1 x 6 = 2 x 3
  2. 1 x 8 = 2 x 4
  3. 2 x 6 = 3 x 4
  4. 2 x 9 = 3 x 6
  5. 3 x 8 = 4 x 6

selanjutnya masing - masing kemungkinan tersebut kita namakan pilihan.
Perhatikan, pada pilihan I kita bisa memilih $a=1, e=6, b=2$ dan $d=3$. Tetapi antara $a$ dan $e$ letaknya bisa ditukar demikian pula dengan $b $ dan $d$. Jadi ada 2 x 2 = 4 cara. Selain itu kita juga bisa memilih $a=2, e=3,b=1$ dan $d=6$ dengan cara yang sama untuk kasus ini ada 4 cara. Jadi, untuk pilihan I total ada 8 cara memilih nilai untuk $a,b,d,e$. Hal ini juga berlaku untuk 4 pilihan yang lain. Sehingga ada 5 x 8 = 40 cara memilih nilai untuk $a,b,d,e$. Selanjutnya kita tinggal memilih nilai untuk $c$, yang tentu saja masih ada 5 kemungkinan.
Oleh karena itu, kemungkinan cara memilih bilangan - bilangan untuk $a,b,c,d,e$ ada 40 x 5 = 200 cara.

Soal 4. Diketahui segitiga $ABC$ dengan $A$ sebagai puncak dan $BC$ sebagai alas. Titik $P$ terletak pada sisi $AC$. Dari titik $A$ ditarik garis sejajar $PB $ dan memotong perpanjangan alas di titik $D$. Titik $E$ terletak pada alas sehingga $CE:ED=2:3$. Jika $F$ adalah tengah - tengah antara $E$ dan $C$, dan luas segitiga $ABC$ sama dengan 35 cm$^2$.
Berapakah luas segitiga $PEF$?

Jawaban
Perhatikan gambar di bawah ini,

Kita definisikan $[ABC]$ sebagai luas dari segitiga $ABC$ demikian juga untuk yang lain, tanda [...] menyatakan luas.
Misalkan $AP:PC=1:x$ dengan $c\in \mathbb{R}$. Hal ini berakibat $BC:CD=x:(1+x)$. Padahal kita ketahui
$$\begin{equation*}
\frac{[ABC]}{[ACD]}=\frac{BC}{CD}=\frac{x}{1+x}
\end{equation*}$$
atau sama artinya
$$\begin{equation*}
[ACD]=\left(\frac{1+x}{x}\right)[ABC]
\end{equation*}$$
Demikian pula karena $CE:ED=2:3$ kita peroleh,
$$\begin{equation*}
\frac{[ACE]}{[AED]}=\frac{CE}{ED}=\frac{2}{3}
\end{equation*}$$
atau dengan kata lain
$$\begin{equation*}
[ACE]=\frac{2}{5}[ACD]=\frac{2}{5}\left(\frac{1+x}{x}\right)[ABC]
\end{equation*}$$
Selain itu dari permisalan kita di awal, $AP:PC=1:x$ yang berakibat
$PC:AC=x:(1+x)$, sehingga kita dapat
$$\begin{equation*}
\frac{[CEP]}{[ACE]}=\frac{PC}{AC}=\frac{x}{1+x}
\end{equation*}$$
atau
$$\begin{equation*}
[CEP]=\left(\frac{x}{1+x}\right)[ACE]
\end{equation*}$$
Dengan menggabungkan beberapa hasil yang diperoleh sebelumnya kta dapat,
$$\begin{align*}
[CEP]&=\left(\frac{x}{1+x}\right)[ACE]\\
&=\left(\frac{x}{1+x}\right)\cdot\frac{2}{5}\left(\frac{1+x}{x}\right)[ABC]\\
&=\frac{2}{5}[ABC]\\
&=\frac{2}{5}\cdot 35\\
&=14
\end{align*}$$
Padahal diketaui $EF=FC$ yang berarti $[PEF]=[PFC]$. Oleh karena itu,
$$\begin{equation*}
[PEF]=\frac{1}{2}[CEP]=\frac{1}{2}\cdot 14=7
\end{equation*}$$
Jadi, luas segitiga $PEF$ adalah 7 cm$^2$.

Soal 5. Setiap sisi suatu kubus dituliskan sebuah bilangan asli. Setiap titik sudutnya diberi nilai yang merupakan hasil kali dari tiga bilangan pada tiga sisi yang berpotongan di titik sudut tersebut. Jika jumlah semua bilangan pada titik - titik sudut tersebut sama dengan 1001, tentukan jumlah semua bilangan yang dituliskan pada sisi - sisi kubus tersebut.

Jawaban
Misalkan angka - angka yang dituliskan pada keenam sisi kubus tersebut ialah $a,b,c,d,e,d$ dan $f$. Kita peroleh
$$\begin{align*}
&ade+abe+bec+cde+adf+abf+bcf+cdf=1001\\
&\Leftrightarrow \qquad ad(e+f)+ab(e+f)+bc(e+f)+cd(e+f)=1001\\
&\Leftrightarrow \qquad (e+f)(ad+ab+bc+cd)=1001\\
&\Leftrightarrow \qquad (e+f)(a(b+d)+c(b+d))=1001\\
&\Leftrightarrow \qquad (e+f)(b+d)(a+c)=1001\\
&\Leftrightarrow \qquad (e+f)(b+d)(a+c)=7\cdot 11\cdot 13
\end{align*}$$
Sehingga $a+b+c+d+e+f=7+11+13=31$.

Download Pembahasan Soal OSN SMP 2009





1 comments :

  1. BLOG NYA KEREN SEKALI,,KEBETULAN SAYA LAGI BELAJAR SOAL OLIMPIADE DAN INI SANGAT MEMBANTU. SALAM KENAL YA..

    ReplyDelete