tuturwidodo..com

tuturwidodo..com

08 July 2011

Pembahasan OSK SMP 2011 lengkap

Ditulis Oleh pada 08 July 2011


Setelah postinganku yang pertama beberapa hari lalu tentang Olimpiade Sains Nasional SMP tahun 2011 yang aku beri judul OSK SMP 2011 Vers. 1. Kali ini aku posting masih dalam kasus sama yaitu Pembahasan Olimpiade Sains Kabupaten tingkat SMP tahun 2011. Namun untuk postinganku yang kedua ini, pembahasan sudah aku selesaikan tuntas 30 soal.

Bagi yang ingin download pembahasan OSK SMP matematika 2011 silakan klik disini. Secara keseluruhan soalnya tergolong susah (nie menurut penilaianku). Dari 30 soal tersebut, berikut aku cuplikkan satu soal yang paling susah versi diriku :

Soal. Suatu himpunan disebut berjenis H jika memenuhi sifat :

  • Himpunan tersebut beranggotakan tiga bilangan bulat tak negatif.
  • Rata - rata ketiga bilangan anggota himpunan tersebut adalah 15.
Banyaknya semua himpunan berjenis H ini adalah . . .


Pembahasan :

Misalkan $H=\{a,b,c\}$ maka bilangan $a, b, c$ memenuhi kriteria $a,b,c\geq 0$, $a\neq b\neq c$ ( sebab $H$ adalah himpunan dengan tiga anggota ) serta $a+b+c=45$.
Pertama kita cari seluruh penyelesaian dari pers.
$$\begin{equation*}
a+b+c=45
\end{equation*}$$ yang sama artinya dengan mencari banyak kemungkinan dari penyusunan $\underbrace{0000 \cdots 00}_{45 \text{ angka }0}11$ yaitu sebanyak $\dfrac{47!}{2!\cdot 45!}=1081$ cara ( sebut ini sebagai penghitungan awal).
Perhatikan dari seluruh penyelesaian persamaan di atas ada tiga susunan utama yaitu 3 angkanya sama, ada 2 angka sama atau ketiga angkanya berbeda (ini yang mau kita cari). Kita uraikan kasus tersebut :
  1. Ketiga angkanya sama.
    Satu - satunya kemungkinan adalah $a=b=c=15$ yang di perhitungan awal berkontribusi hanya satu juga.
  2. Ada 2 angka yang sama.
    Dalam kasus ini salah satu angkanya pasti ganjil. Jadi ada 22 kemungkinan sebab angka ganjil dari 1 sampai 45 ada 23 tetapi 15 tidak masuk perhitungan. Ingat bhawa dalam kasus dua angka sama, setiap penyelesaian berkontribusi sebanyak 3 kali. Jadi, untuk tipe ada dua angka yang sama pada penghitungan awal berkontribusi sebanyak 22 x 3 =66.
  3. Ketiga angkanya berbeda.
    Kasus ini yang tidak punya ciri khusus. Jadi susah dihitung. Tapi tenang, kita gunakan komplemen. Terlebih dahulu perhatikan bahwa setiap penyelesaian di tipe ini berkontribusi sebanyak 6 kali pada penghitungan awal. Sebagai contoh begini, $(a,b,c)=(0,5,40)$ adalah salah satu contoh penyelesaian. Demikian juga semua permutasinya yang ada sebanyak 6 (hitung sendiri kalo tidak percaya).
    Lebih lanjut, kontribusi tipe III di penghitungan awal sebanyak $1081-1-66=1014$. Jadi, banyaknya penyelesaian yang berbeda ada sebanyak $\dfrac{1014}{6}=169$.

Oleh karena itu, banyaknya himpunan $H$ yang memenuhi kriteria soal ada sebanyak 169.





2 comments :

  1. Mas Tutur untuk soal isian nomer 2 jawabannya sedikit meleset.
    999999999 x 12345679 = 111111111 x (9x12345679)
    = 111111111 x 111111111
    = 12345678987654321
    Jadi jumlah digit - digitnya adalah
    2x(1+2+3+4+5+6+7+8)+9=81

    ReplyDelete
  2. @Saiful Arif,S.Pd Trimakasih koreksinya pak. Maklum kebanyakan nol-nya jadi pusing liatnya. harusnya $10^9$ bukan $10^{10}$. Sekarang sudah saya betulin

    ReplyDelete