tuturwidodo..com

tuturwidodo..com

16 July 2011

Integral Cantik ( Soal Latihan SNMPTN 2011)

Ditulis Oleh pada 16 July 2011


Berikut ini aku tampilkan salah satu soal integral trigonometri cantik yang saya peroleh dari soal latihan SNMPTN tahun 2011. Parahnya soal ini muncul sebagai nomor 1. Padahal menurut aku pribadi, soal ini tidak termasuk ke dalam golongan soal gampang. Oke, ini soalnya :


Tentukan nilai dari
$$\begin{equation*}
\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\tan ^{2011}x}{1+\tan^{2011}x} dx
\end{equation*}$$



Solusi
Misal, $\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{\tan ^{2011}x}{1+\tan^{2011}x} dx=I$. Selanjutnya substitusi $x$ dengan $\dfrac{\pi}{2}-t$ maka diperoleh
$$\begin{equation*}
\tan^{2011}x=\tan^{2011}\left(\frac{\pi}{2}-t\right)=\cot^{2011}t \quad \text{ dan }dx=-dt
\end{equation*}$$
sehingga
$$\begin{align*}
I&=\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\tan ^{2011}x}{1+\tan^{2011}x} dx\\
&=-\int\limits_{\frac{\pi}{2}}^{0}\frac{\cot ^{2011}t}{1+\cot^{2011}t} dt\\
&=\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cot ^{2011}t}{1+\cot^{2011}t} dt\\
&=\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cot ^{2011}x}{1+\cot^{2011}x} dx
\end{align*}$$
Oleh karena itu,
$$\begin{align*}
2I&=I+I\\
&=\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\tan ^{2011}x}{1+\tan^{2011}x} dx+\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cot ^{2011}x}{1+\cot^{2011}x} dx\\
&=\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\tan ^{2011}x}{1+\tan^{2011}x} dx+\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{\tan^{2011}x+1} dx\\
&=\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{1+\tan ^{2011}x}{1+\tan^{2011}x} dx\\
&=\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}dx\\
&=x\Bigg|_0^{\frac{\pi}{2}}\\
&=\frac{\pi}{2}
\end{align*}$$
Jadi, $I=\dfrac{\pi}{4}$. Dengan kata lain
$$\begin{equation*}
\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\tan ^{2011}x}{1+\tan^{2011}x} dx=\frac{\pi}{4}
\end{equation*}$$
Varian atau bentuk lain dari soal di atas adalah $\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{\sin ^{2011}x}{\sin^{2011}x+\cos^{2011}x} dx$ yang tentunya caranya sama dan hasilnya sudah pasti juga $\dfrac{\pi}{4}$.

Download soal dan pembahasan in PDF file





8 comments :

  1. Mas, knapa dia harus di substitusi x dengan
    ((pi/2)-t). Aku kok ga mudeng to ...????

    bisa tolong di jelaskan.....
    atau di email alfysta@yahoo.com

    ReplyDelete
  2. ide substitusi $x$ dengan $\frac{\pi}{2}-t$ muncul karena aku melihat batas atas dari integral tersebut adalah $\frac{\pi}{2}$. Selain itu, aku teringat juga sifat trigonometry $\tan(\frac{\pi}{2}-t)=\cot t$. Karena itu aku coba pake substitusi $x=\frac{\pi}{2}-t$, trus nyoba corat- coret, eh ketemu.
    Jadi, ide substitusi itu awalnya juga cuma nyoba- nyoba doank.

    ReplyDelete
  3. OOwwww,,,,,, Bgitu to.... Mau nyoba yang $$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin^{2011}(x)}{\sin^{2011}(x)+\cos^{2011}(x)}$$

    ReplyDelete
  4. Hem afwan mau tanya mas, msh ada yg kurang paham nih..
    [0, pi/2] ∫ (cot²°¹¹ t)/(1 + cot²°¹¹ t) dt
    [0, pi/2] ∫ (cot²°¹¹ x)/(1 + cot²°¹¹ x) dx
    Itu knp variabelnya berubah mas? Hem, bukannya di awal x = pi/2 - t yah?
    Oia, sebelumnya makasih juga buat teorema vieta nya yah mahh.. :D

    ReplyDelete
  5. Jangan terpancang pada variable, mau itu $x$, $a$ ataupun $t$ sama saja artinya asalkan interval nilainya sama.
    Permisalan $x=\frac{\pi}{2}-t$ digunakan untuk menunjukkan bahwa pada interval $(0,\frac{\pi}{2})$ nilai
    $\int \frac{\tan^{2011} x}{1+\tan^{ 2011}x}=\int \frac{\cot^{2011} x}{1+\cot^{ 2011}x}$.

    Perlu diperhatikan juga bahwa
    $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cot^{2011} x}{1+\cot^{ 2011}x} dx=\int _0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cot^{2011} t}{1+\cot^{ 2011}t}dt$.
    Ya jelaslah sama, lha wong yang beda cumavariable ya.
    Mudah2an ngerti maksud saya.

    ReplyDelete
  6. hehe iyah maaf pak, gga lama setelah bertanya pun alhamdulillah paham dgn sndri nya pak.. jarang ketemu dgn integral tentu sih. Hehe afwan wa syukran pak.. Jazakallahu khairan katsiran.. :)
    Ehiyah pak, minggu lalu selain dl materi yg tentang teorema vieta, saya juga dl soal um ugm pak. Tp koq yg um ugm di pdf reader hp saya gga kebaca pak, kira kira knp kah? Hehe syukran..

    ReplyDelete
  7. Oyah mas, saya bleh nanya....

    kok blognya sampean bisa di tulisi $\LaTeX$ yo. padahal saya lalu pake blogspot ndak bisa di tulisi $\LaTeX$ lho. caranya gmana mas ???

    ReplyDelete
  8. Coba saja kapan- kapan berkunjung ke http://www.mathjax.org. Disana ada script yang bisa dipasang di blog agar bisa menbaca format $\LaTeX$

    ReplyDelete