tuturwidodo..com

tuturwidodo..com

02 July 2011

Identitas $a^3+b^3+c^3-3abc$

Ditulis Oleh pada 02 July 2011


Pada posting kali ini aku berikan salah satu identitas di aljabar yang sangat sering digunakan. Bentuknya seperti ini :

Untuk bilangan real $a, b, c$ berlaku
$\begin{equation*}
a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)
\end{equation*}$

Bentuk $a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca$ bisa juga ditulis
$\dfrac{1}{2}\left((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\right)$.
Lebih jauh jika $a+b+c=0$ maka $a^3+b^3+c^3=3abc$.
Berikut beberapa aplikasi sederhana dari identitas di atas.
Contoh 1. Sederhanakan bentuk $\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}$.
Solusi :
Misalkan, $t=\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}$ maka diperoleh $t-\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}-\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}=0$. Berdasarkan identitas tadi kita peroleh $t^3-(2+\sqrt{5})-(2-\sqrt{5})=3t\sqrt[3]{(2+\sqrt{5})(2+\sqrt{5})}$ atau equivalen dengan $t^3-(2+\sqrt{5})-(2-\sqrt{5})=3t\sqrt[3]{-1}$ yang sama arti $t^3+3t-4=0$ yang bisa difaktorkan menjadi $(t-1)(t^2+t+4)=0$. Karena akar - akar dari $t^2+t+4$ imajiner (cek dengan diskriminan) sedangkan $t$ real diperoleh $t=1$.
Jadi, $\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}=1$





0 comments :

Post a Comment