Jika merupakan bilangan prima. Untuk sebarang bilangan bulat positif
didefinisikan
sebagai pangkat dari
dalam faktorisasi prima dari
. Sebagai contoh kita ambil
dan
. Karena
maka nilai
.
Fungsi aritmatika dari disebut Fungsi Legendre yang berkaitan dengan bilangan prima
.
Kita memiliki teorema berikut, ( bukti sengaja tidak ditulis sebagai latihan bagi pembaca. Pembuktiannya bisa menggunakan teori bilangan atau kombinatorik ).
Teorema. Untuk sebarang bilangan prima dan sebarang bilangan bulat positif
berlaku,
.
Contoh Soal :
1. Jika dan
bilangan bulat positif sehingga
dan
. Hitung nilai
.
Solusi :
Perhatikan bahwa . Dengan menggunakan Fungsi Legendre didapat,
dan
Jadi,
2. Berapa banyaknya angka tak terputus di bagian belakang
Solusi :
Angka di bagian belakang
didapat dari perkalian
. Dengan Fungsi Legendre, mudah dilihat bahwa
. Jadi, banyaknya angka
di bagian belakang
adalah
Latihan.
1. Tentukan sehingga
2. Hitunglah banyaknya angka nol dibagian belakang dengan
3. Hitunglah besarnya pangkat yang merupakan faktor dari
4. Jika prima dan
bilangan bulat positif serta
dengan
dan
saling prima. Buktikan :
.
Oke. Sudah capek nulisnya. Kapan- kapan disambung lagi.
1.14
ReplyDelete2.(5^n -1)/4
3.(n^r -1)/(n-1)