OSP 2010

OSP 2010 sudah selesai. Aku kemarin bertemu dengan salah seorang teman yang juga ikut ambil bagian di OSP tahun ini. Dari dia aku korek beberapa soal yang masih dia ingat.Akhirnya dapat juga beberapa soalnya. Ini beberapa pertanyaan yang akau dapet. ( Format soalnya mungkin tidak sama persis dengan aslinya tapi intinya sama. Nomor soal juga tidak aku cantumkan, takut salah sebab ini "cuma" seingat temanku aja soalnya). Bagi yang sudah dapat soal aslinya atau full soalnya aku tolong dikasih tahu link downloadnya. Trimakasih.
Problem Nilai dari $\sum_{j=0}^n C_j^n\sum_{i=0}^j C_i^j8^i$ adalah . . .

Problem Pada segitiga $ABC$ , jika $\frac{2a}{tan A}=\frac{b}{tan B}$ maka nilai dari $\frac{Sin^2A-Sin^2B}{Cos^2A+Cos^2B}$ adalah . . .

Problem Diberikan polinom $P(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d$ . Jika diketahui $P(1)=10,\quad P(2)=20$ dan $P(3)=30$ maka nilai dari $\frac{P(12)+P(-8)}{10}$ adalah ...

Problem Diketahui $x,y,z$ bilangan real yang memenuhi sistem persamaan berikut
$x+y+z=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$
$xyz=1$
Tentukan nilai minimum dari $\left|x+y+z\right|$ .

Problem Banyaknya bilangan prima $p$ sehingga $p^2+7^3$ merupakan bilangan kubik adalah ...

Problem Diberikan n titik pada koordinat Cartecius yang nilai x dan y-nya merupakan bilangan bulat ( titik seperti ini disebut titik latis ). Tentukan nilai terkecil n, sehingga terdapat 2 titik yang jika dihubungkan titik tengahnya adalah titik latis juga.

Problem Dalam suatu kelas yang berisi 27 siswa akan dibentuk 6 kelompok yang tiap kelompok terdiri dari 4 sampai 5 siswa. Banyaknya cara menyusun kelompok tersebut adalah ...

Problem Nilai konstanta dari $\left(x^5-\frac{2}{x^3}\right)^8$ adalah ...

Problem Diberikan segitiga ABC dengan a, b, c sebagai panjang sisi- sisinya. Jika (a+b+c)(a+b-c)=3ab maka besarnya sudut C yang menghadap panjang sisi c adalah ...

Problem Pada segitiga $ABC$ , $Q$ pada $AC, \quad R$ pada $AB, \quad P dan P_1$ pada $BC$ sedemikian sehingga
$\frac{AR}{RB}=\frac{BP}{PC}=\frac{CQ}{QA}=\frac{CP_1}{P_1B}$
Jika $G$ titik berat dan $K$ adalah perpotongan $AP_1$ dan $QR$ . Buktikan $K, G, P$ kolinier.

Problem Diketahui $k$ bilangan bulat terbesar sehingga terdapat bilangan prima $p_1, p_2, \cdots p_k$ ( harus berbeda)dan bilangan prima $q_1, q_2, \cdots , q_k$ (tidak harus berbeda) yang memenuhi
$\sum_{i=1}^k \frac{1}{p_i}=\frac{1}{2010}\left(7+n\prod_{i=1}^k q_i\right)$
Tentukan banyaknya nilai $n$ yang mungkin.

Problem Tentukan nilai $(k, d)$ sehingga sistem persamaan berikut tidak memiliki solusi $(x, y)$ real
$x^3+y^3=2$
$y=kx+d$

Problem Misalkan $\mathbb{N}_0$ menyatakan himpunan bilangan bulat nonnegatif dan $x,y,z,n \in \mathbb{N}_0$ serta $n$ kelipatan 2010. Buktikan bahwa persamaan $x+2y+3z=n$ memiliki tepat $1+\frac{n}{2}+\frac{n^2}{12}$ pasangan $(x,y,z)$ yang memenuhi.