tuturwidodo..com

tuturwidodo..com

20 June 2010

OSP 2010

Ditulis Oleh pada 20 June 2010


OSP 2010 sudah selesai. Aku kemarin bertemu dengan salah seorang teman yang juga ikut ambil bagian di OSP tahun ini. Dari dia aku korek beberapa soal yang masih dia ingat.Akhirnya dapat juga beberapa soalnya. Ini beberapa pertanyaan yang akau dapet. ( Format soalnya mungkin tidak sama persis dengan aslinya tapi intinya sama. Nomor soal juga tidak aku cantumkan, takut salah sebab ini "cuma" seingat temanku aja soalnya). Bagi yang sudah dapat soal aslinya atau full soalnya aku tolong dikasih tahu link downloadnya. Trimakasih.
Problem Nilai dari adalah . . .






Pake binom Newton, didapat


Problem Pada segitiga , jika maka nilai dari adalah . . .





Dari soal didapat, yang equivalent dg . Dengan aturan Sinus diperoleh . Misal didapat . Jadi,

Problem Diberikan polinom . Jika diketahui dan maka nilai dari adalah ...





Perhatikan bahwa adalah akar- akar dari polinom . Jadi, . Sehingga,

dan

Jadi,



Problem Diketahui bilangan real yang memenuhi sistem persamaan berikut


Tentukan nilai minimum dari .





Dengan AM-GM diperoleh serta

Dengan mengkombinasikan hasil di atas dan yang diketahui di soal diperoleh,

Misal, diperoleh
Lebih jauh diperoleh, yang dipenuhi oleh atau
Jadi, nilai minimum

Problem Banyaknya bilangan prima sehingga merupakan bilangan kubik adalah ...





Misalkan bilangan bulat positif. Didapat
Karena prima, hanya ada 3 kemungkinan yaitu :
,
atau

Tetapi hasil yang mungkin hanya bila yang berakibat .
Jadi, banyaknya bilangan prima yang mungkin hanya

Problem Diberikan n titik pada koordinat Cartecius yang nilai x dan y-nya merupakan bilangan bulat ( titik seperti ini disebut titik latis ). Tentukan nilai terkecil n, sehingga terdapat 2 titik yang jika dihubungkan titik tengahnya adalah titik latis juga.





n=5.
Untuk lebih jelasnya, perhatikan kemungkinan koordinat (x, y) berikut :
(genap, genap), (genap, ganjil), (ganjil, genap), (ganjil. ganjil)

Problem Dalam suatu kelas yang berisi 27 siswa akan dibentuk 6 kelompok yang tiap kelompok terdiri dari 4 sampai 5 siswa. Banyaknya cara menyusun kelompok tersebut adalah ...





Banyaknya cara

Problem Nilai konstanta dari adalah ...





Pake Binom Newton, didapat konstantanya adalah

Problem Diberikan segitiga ABC dengan a, b, c sebagai panjang sisi- sisinya. Jika (a+b+c)(a+b-c)=3ab maka besarnya sudut C yang menghadap panjang sisi c adalah ...








Dengan aturan Cosinus didapat,
. Jadi,

Problem Pada segitiga , pada pada pada sedemikian sehingga

Jika titik berat dan adalah perpotongan dan . Buktikan kolinier.





Wah geometry lagi, ni subjek yang paling aku benci. Tapi ya dicobalah sebisanya.
Perhatikan gambar di bawah ini !

Misalkan adalah titik tengah pada sisi . Perhatikan segitiga dan titik- titik yang terletak pada segitiga .
Berdasarkan teorema Menelaus,untuk menunjukkan kolinier, cukup ditunjukkan .
Karena titik berat berakibat . Selain itu, diketahui pula maka yang berakibat . Jadi, . Oleh karena itu, tinggal ditunjukkan . Kita juga punya bahwa . TMisalkan, dan menyatakan luas daerah serta . Selanjutnya diperoleh,



Sehingga,
Jadi, . Hasil ini melengkapi buki kita, dengan kata lain

Problem Diketahui bilangan bulat terbesar sehingga terdapat bilangan prima ( harus berbeda)dan bilangan prima (tidak harus berbeda) yang memenuhi

Tentukan banyaknya nilai yang mungkin.





Kalikan kedua ruas dengan 2010. Ruas kanan berupa bilangan bulat, berarti ruas kiri juga. Karena prima maka . Padahal 2010 hanya memiliki 4 faktor prima jadi . Untuk sendiri diperoleh dan .
Sehingga . Karena boleh sama, kemungkinan nilai yaitu . Total hanya ada nilai yang mungkin.

Problem Tentukan nilai sehingga sistem persamaan berikut tidak memiliki solusi real







Solusi real dari sistem di atas adalah akar real dari polinom yang berderajat . Karena polinom berderajat 1 dan 3 pasti punya akar real maka haruslah yang dipenuhi ketika sehingga , dengan Diskriminan diperoleh yang jelas benar untuk atau untuk nilai antara -1 dan 2 aku belum tahu cara identifikasinya.

Problem Misalkan menyatakan himpunan bilangan bulat nonnegatif dan serta kelipatan 2010. Buktikan bahwa persamaan memiliki tepat pasangan yang memenuhi.





Bagi kasus aja,
i. Jika genap.
Sehingga dapat dinyatakan dengan . Persamaan di soal menjadi yang penyelesaiannya adalah . Jadi, solusi persamaan tersebut bergantung banyaknya nilai y yang memenuhi yaitu yang ada sebanyak . Jadi, total solusi ada
ii. Jika ganjil.
Sehingga dapat dinyatakan dengan . Persamaan di soal menjadi yang penyelesaiannya adalah . Jadi, solusi persamaan tersebut bergantung banyaknya nilai y yang memenuhi yaitu yang ada sebanyak . Jadi, total solusi ada
Oleh karena itu, total solusi seluruhnya adalah





3 comments :

  1. Mas soalnya ada yg slh

    ReplyDelete
  2. Anonymous06 July, 2012

    bang widodo, kok posting terbaru OSP 2011???

    ReplyDelete
  3. Anonymous06 July, 2012

    maksudnya kok pengumumanya

    ReplyDelete