tuturwidodo..com

tuturwidodo..com

20 May 2010

Greece National Olympiad 2010

Ditulis Oleh pada 20 May 2010


Bagi yang sudah kelaperan pingin ngerjain soal. Ini aku kasih problem dari Olimpiade matematika Yunani 2010. Soal aku terjemahkan sesuai pemahamanku.


Problem 1. Carilah solusi integer dari persamaan Diophantine berikut :







Persamaan pada soal equivalent dengan .
Dari sini mudah dilihat bahwa untuk tidak ada nilai yang memenuhi. Demikian juga untuk nilai . Jadi, nilai yang mungkin :
persamaan menjadi ( tak ada nilai yang memenuhi)
persamaan menjadi ( nilai yang memenuhi yaitu )
Jadi, solusi yang mungkin



Problem 2. Jika adalah bilangan real positif dan . Buktikan bahwa :



Kapan kesamaan terjadi?

Solusi



Dengan AM-GM didapat,

serta
Sehingga,




Sory yang problem 3 dan 4 tidak aku terjemahkan, aku kasih apa adanya dalam bahasa inggris. Takut nerjemahkannya salah karena aku tidak suka ma geometry ( sama sekali gelap ). Klo yang 4 sih combin tapi pake unsur di geometry jadinya gelap lagi.


Problem 3. A triangle is inscribed in a circle and has incenter . Lines meet the circumcircle of triangle at points respectively. The circles with diameter meet the sides at pairs of pointsrespectively. Prove that the six points are concyclic.


Problem 4. On the plane are given distinct lines, where is integer and is integer as well. Any three of these lines do not pass through the same point . Among these lines exactly are parallel and all the other lines intersect each other. All lines define on the plane a partition of triangular , polygonic or not bounded regions. Two regions are colled different, if the have not common points or if they have common points only on their boundary. A regions is called ''good'' if it contained in a zone between two parallel lines . If in a such given configuration the minimum number of ''good'' region is 176 and the maximum number of these regions is 221 , find and .


blogger-emoticon.blogspot.com





1 comments :

  1. Anonymous24 May, 2010

    Please, give me solution or hit for number 3 and 4. Thanks.

    ReplyDelete