Austrian Mathematical Olympiad 2010

I am back . Ni sekarang aku kasih soal - soal olimpiade dari Austria. Silakan dicoba !

Problem 1. Jika . Perlihatkan bahwa, untuk sebarang bilangan bulat yang memenuhi tidak terdapat bilangan asli sehingga habis dibagi .

Problem 2. Untuk bilangan bulat positif , didefinisikan fungsi untuk sebarang bilangan real . Untuk sebarang bilangan 2 digit , tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan .

Problem 3. Diberikan himpunan yaitu himpunan bilangan bulat nonnegatif yang krang dari atau sama dengan . Suatu himpunan dikatakan "bagus" jika tak kosong dan untuk setiap bilangan asli , memiliki subset dimana . Tentukan banyaknya subset "bagus" dari .

Problem 4. The the parallel lines through an inner point of triangle split the triangle into three parallelograms and three triangles adjacent to the sides of .
(a) Show that if is the incenter, the perimeter of each of the three small triangles equals the length of the adjacent side.
(b) For a given triangle , determine all inner points such that the perimeter of each of the three small triangles equals the length of the adjacent side.
(c) For which inner point does the sum of the areas of the three small triangles attain a minimum?

Ayo monggo dibantai sampe habis